Решим биквадратное уравнение

\(4x^4 - 5x^2 + 1 = 0. \qquad (1)\)

Уравнение решим введением новой переменной.

Обозначим \(x^2\) через \(y\):

\(x^2 = y.\)

Тогда уравнение (1) приводится к квадратному уравнению с неизвестной \(y\):

\(4y^2 - 5y + 1 = 0. \qquad (2)\)

Уравнение (2) решим методом дискриминанта.

Общий вид квадратного уравнения:

\(ay^2+by+c=0.\)

Для уравнения (2): \(a=4, b=-5, c=1\).

Находим дискриминант:

\(D=b^2-4ac=(-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 > 0.\)

Так как D>0, поэтому уравнение (2) имеет два действительных корня, которые вычисляются по следующей формуле:

\(y_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2\cdot 4} = \frac{5 \pm 3}{8}.\)

То есть,

\(y_1 = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).

\(y_2 = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1\).

Из уравнения \(x^2 = \frac{1}{4}\) находим:

\(x_{1,2} = \sqrt{\frac{1}{4}}  = \pm\frac{1}{2} \implies x_1 = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{1}{2}.\)

Из уравнения \(x^2 = 1\) находим:

\(x_{3,4} = \sqrt{1}  = \pm 1 \implies x_3 = -1, \quad x_4 = 1.\)

Таким образом, уравнение (1) имеет четыре решения:

\(x_1 = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{1}{2}, \quad x_3 = -1, \quad x_4 = 1.\)

Проверка.

\(\begin{multline}
1. \quad 4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^4 - 5\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = 4\cdot\frac{1}{16} - 5\cdot\frac{1}{4} + 1 = \\
= \frac{4}{16} - \frac{5}{4} + 1 = \frac{1-5+4}{4} = 0.
\end{multline}\)

\(\begin{multline}
2. \quad 4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4 - 5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = 4\cdot\frac{1}{16} - 5\cdot\frac{1}{4} + 1 = \\
= \frac{4}{16} - \frac{5}{4} + 1 = \frac{1-5+4}{4} = 0.
\end{multline}\)

\(\begin{multline}
3. \quad 4\cdot (-1)^4 - 5\cdot (-1)^2 + 1 = 4\cdot 1 - 5\cdot 1 + 1 = 4 - 5 + 1 = 0.
\end{multline}\)

\(\begin{multline}
4. \quad 4\cdot 1^4 - 5\cdot 1^2 + 1 = 4\cdot 1 - 5\cdot 1 + 1 = 4 - 5 + 1 = 0.
\end{multline}\)